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哲学逻辑概论

归档日期:06-06       文本归类:直觉主义逻辑      文章编辑:爱尚语录

  哲学逻辑包括模态逻辑、时态逻辑、多值逻辑、道义逻辑、直觉主义逻辑等。哲学逻辑是从扩充古典逻辑或修改古曲逻辑而来的一个逻辑分类。本文分别对这类逻辑进行了简要介绍。

  哲学逻辑是以模态逻辑为代表的一类逻辑的总称。哲学逻辑并不是一个十分明确的概念,不同的人在使用哲学逻辑这个概念时所指的范围是不一样的。

  模态逻辑是与经典逻辑不同的一类逻辑。经典逻辑就是数理逻辑,它的建立和发展与数学密切相关。当初为了强调模态逻辑不是关于数学的,而是关于哲学的(因为必然性和可能性是哲学概念),将模态逻辑称为哲学逻辑。当初的哲学逻辑仅指模态逻辑,后来将许多与经典逻辑不同的逻辑都称为哲学逻辑。

  哲学逻辑最广的范围是指现代逻辑(只指演绎逻辑,因为其它种类的逻辑是否是逻辑人们的意见并不一致)中除经典逻辑外的所有逻辑。最窄的范围是指与模态逻辑类似的一类逻辑。

  最广的范围是一种否定的定义,不能说明哲学逻辑的含义。最窄的范围虽然有明确的含义,但必须在非常了解模态逻辑的情况下才能理解这种含义。

  哲学逻辑是从修改古典逻辑发展起来的一类逻辑,可以按对古典逻辑的不同的修改来对哲学逻辑作一个分类。这种分类是据我个人对逻辑的看法得到的,也是我个人对哲学逻辑的一种界定。

  古典逻辑的特征是外延性和二值性。外延性是说我们只考虑命题的外延。二值性是说外延只有两个值,真和假。

  (1)扩充古典逻辑,引进一些内涵性的算子,如模态、时态、 道义、认知等。它们是古典逻辑的扩充,所以也称为扩充逻辑。

  (2)修改古典逻辑,将常用的连接词解释为内涵连接词。 这类逻辑的哲学背景比较复杂。有直觉主义逻辑、相干逻辑等。它们将常用的连接词作另外的解释,所以也称为异释逻辑。

  ①多值逻辑大约产生于30年代,最早建立的、至今仍是最主要的三个三值逻辑都是与哲学有密切关系的。卢卡希维茨的三值逻辑是为了处理将来偶然命题,布茨瓦尔的三值逻辑是为了处理无意义(或悖论)的命题,克利尼的三值逻辑是为了处理人们不知道命题真假的情况。

  渐渐地,那些哲学问题在其它逻辑中有更为深入和细致的讨论,将来偶然命题在模态逻辑或时态逻辑中讨论,知道不知道的问题由认知逻辑处理,悖论问题也被人们证明不能由多值逻辑来解决。多值逻辑不是作为一种解决哲学问题的逻辑,而是作为一种代数系统在发展。所以人们一般不把多值逻辑当作哲学逻辑。

  ②扩充逻辑中最重要和最有代表性的是模态逻辑,所以扩充逻辑更常用的名称是广义模态逻辑。另一种重要的逻辑是时态逻辑。另外两类常见的逻辑是道义逻辑和认知逻辑。

  道义逻辑是将道义概念[必须]、[允许]类比模态概念[必然]、[可能]而建立起来的一类逻辑。这种类比的想法中世纪就有,莱布尼茨也详细研究过,不过那时对模态命题的研究非常简单,还未形成逻辑,所以也不可能建立道义逻辑。在现代模态逻辑建立以后,冯·赖特在50年代使用这种类比的思想真正建立了道义逻辑,以后有了很大的发展。

  道义逻辑是类比模态逻辑得到的,在模态逻辑的研究如此深入的今天,作为逻辑系统的道义逻辑也得到了详细的讨论。然而,既然道义逻辑是关于道义概念的,所以它必须在人们的社会实践中得到检验。正是在这种检验中,人们发现道义逻辑存在着不少问题,它们能推出一些不符合人们对道义概念的直观理解的命题。今天道义逻辑的研究还处在解决自身问题的阶段,离它的目标(应用于伦理学的研究)还相当遥远。

  我也认为这种类比思想是不合理的。(1 )与人们社会生活相关的道义概念要比描述客观事物的模态概念复杂得多;(2 )客观事物本身是不矛盾的,而由集体意志建立起来的规范不能保证无矛盾;(3 )道德是有层次的,所以有道德选择的问题。虽有不同的必然性,但在一个模态逻辑系统中只处理一种必然性。真正能刻画道义概念的逻辑必须同时处理不同层次的道德问题。

  认知逻辑也是建立在类比思想上的,是将[知道]与[必然]类比,将[相信]与[必然]类比。虽然认知逻辑中没有发现象道义逻辑中发现的那样严重的问题,但这并不意味认知逻辑比道义逻辑处境好,恰恰相反,这反而说明了认知逻辑的情况比道义逻辑更糟。找问题,至少说明人们还重视它,找出问题的目的之一是为了解决问题,使得研究更为深入。不找问题,说明人们根本不重视它。有一件事情可以说明人们对认知逻辑的冷淡程度,在一些世界著名的逻辑学家共同编写的工具书《哲学逻辑手册》中竟然没有认知逻辑,而手册中却包含了许多范围非常狭小的逻辑系统。

  这并不说明认知概念不重要,仅仅说明了现有的认知逻辑不被承认,而真正能刻画认知概念的逻辑还未建立。

  相干逻辑是最早建立的一类异释逻辑,是为了刻画命题之间内容上的相干性。相干逻辑至今已经相当成熟,也有许多成果。但我认为它们仍然没能实现预期的目标,现有的相干逻辑没有一个真正刻画了内容上的相干性。所谓的[相干原理]与内容相干性毫无关系。

  不过相干逻辑仍是一种非常重要的逻辑,它的意义可能在于其它地方,因为它们的语义学已经显示了它们刻画的是一种允许非逻辑世界的更为一般的推理。

  这种现象在科学研究中也是常见的,为了解决某类问题提出的理论和方法,没能解决原先想要解决的问题,但在其它领域中得到了应用。

  在某种意义上说,时态逻辑比模态逻辑更有意义。模态逻辑讨论的“必然”和“可能”仅仅是一种抽象的哲学概念,而时间概念涉及哲学、科学和日常语言。

  时态逻辑的任务是将各种逻辑上可能的时间结构,供研究哲学、科学和日常语言的学者使用。

  我们首先建立时态逻辑的形式语言。时态逻辑的形式语言是在经典逻辑的形式语言上加上时态算子G,H。

  公式按通常的定义。G[,α]的含义是“将来一直有α”,H[,α]的含义是“过去一直有α”。由G,H可以定义F和P如下:

  时态逻辑的一个框架是K=〈W,<〉,其中W 是(时刻的)非空集合,<是W上的二元关系(时刻的先后关系),u<v含义是时刻u在时刻v之前。

  K=〈W,<〉是一个框架,α是一个公式,u∈W。 如果α在时刻u真,就称框架在时刻u满足α,记为V(u,α)=1, 否则(α在时刻u假)记为V(u,α)=0。

  以下考虑时态逻辑的公理系统。不同的公理系统刻画了不同的时间结构,也就是刻画了不同的时刻的先后关系。

  这是极小时态逻辑,它刻画的时间结构是任何二元关系。极小时态逻辑是我们讨论的基础,其它时态逻辑都是在它的基础上加上一些特征公理。

  一般认为时间结构是序关系,序关系的特征是传递性。传递性的直观含义是“将来的将来还是将来”和“过去的过去还是过去”。对应的公理是:

  在序结构的基础上我们进一步讨论更为细致的问题,只挑选几个特别重要的问题。

  假设时间有开端u。因为u没有过去,所以对于任何公式α,在u 这个时刻上“过去一直有α”总是真的,即V(u,H[,α])=1。 对于其它时刻v来说,都有u<v,所以从V(u,H[,α])=1能得到V(v,PH[,α])=1。这就说明了在任何时刻上,H[,α]∨PH[,α]总是真的。 因此时间有开端的公理是:H[,α]∨PH[,α]。

  假设时间无开端。任给时刻u,u都有过去v。如果在时刻u上“过去一直有α”成立,即V(u,H[,α])=1,则α在时刻v成立,即V(v,α)=1。因为u<v,所以从V(v,α)=1能得到V(u,P[,α]) =1。这就说明了在任何时刻上,H[,α]→P[,α]总是真的。因此时间无开端的公理是:H[,α]→P[,α]。

  类似地,时间有结束和时间无结束的公理分别是:G[,α]∨FG[,α]和G[,α]→F[,α]。

  如果u'是u的“下一个”时刻,则u'的过去就是u和u的过去, 所以如果α在时刻u和u的过去都为真,则α在u'的过去都为真。 这就是说,如果α∧H[,α]在时刻u真,则H[,α]在时刻u'真。又因为u '是u的将来,所以FH[,α]在时刻u真。 因此刻画每个时刻有“下一个”时刻的公理是:α∧H[,α]→FH[,α]。类似地, 刻画每个时刻有“上一个”时刻的公理是:α∧G[,α]→PG[,α]。

  因此刻画离散性的公理是:α∧H[,α]→FH[,α]和α∧G[,α] →PG[,α]。

  如果F[,α]在时刻u真,则存在u的将来时刻v使得α在v真,在u 和v间有时刻w,因为v是w的将来,所以F[,α]在时刻v真,又因为w是u 的将来,所以FF[,α]在时刻u真。 因此刻画将来方向稠密性的公理是:F[,α]→FF[,α]。类似地,刻画过去方向稠密性的公理是:P[,α] →PP[,α]。

  因此刻画稠密性的公理是:F[,α]→FF[,α]和P[,α]→PP[,α]。

  连续性是时间结构中一个非常重要的概念,虽然在数学上连续性有严格的刻画,但它的直观理解较为困难,在一些有关时间问题的哲学讨论中经常被误解。

  用时态逻辑的公理刻画的连续性和数学中的连续性定义是等价的,它们的等价性无法在这里讨论。虽然时态逻辑的连续性公理也不太好理解,但还是比数学上严格定义的连续性好理解,而且不容易误解。

  任何两个过去都可比较称为左线性。设P[,α]∧Pβ在时刻u真,就存在u的过去时刻v和w,使得α在v真且β在w真,因为v和w可比较, 所以w<v或w=v或w>v,如果w<v,则α∧Pβ在时v真,所以P(α∧Pβ)在u真,类似地,如果w=v则P(α∧β)在u真,如果w>v则P(P[,α]∧β)在u真。因此刻画左线性的公理是:

  P[,α]∧Pβ→P(α∧(Pβ)∨P(α∧β)∨P(P[,α] ∧β)

  在涉及时间概念问题的争论中,不同的观点所使用的时间结构是不同的,而国内的一些学者往往不注意到这一点。以下对几个问题中的时间结构作简单的分析。

  (1)决定论和非决定论。他们都认为有可以比较的过去, 所以他们的时间结构都有左线性。他们在时间结构上的差异在于将来:决定论认为将来都是可比较的,所以决定论的时间结构还有右线性,是线性时间结构;而非决定论则认为有不可比较的将来,因此非决定论的时间结构没有右线)因果律。 因果关系和时间最主要的联系是原因在结果之前,所以时间开端时刻的事物是没有原因的,时间结束时刻的事物是不会产生结果的,这还是比较容易理解的。人们可能不太明白因果律和时间连续性的联系。

  如果时刻u不是连续的,则它或者是左间断的,或者是右间断的。u是左间断的可以直观地理解为:u 不是指向它的过去时间序列的极限,所以左间断时刻对于因果律的意义类似于开端时刻,处于左间断时刻的事物是没有原因的。类似地,u是右间断的直观意义是:u不是指向它的将来时间序列的极限,所以右间断时刻对于因果律的意义类似于结束时刻,处于右间断时刻的事物是不会产生结果的。

  经典物理学的时间结构是用实数表示的,这种时间结构是:线性的、连续的、无开端无结束的。

  人们知道狭义相对论的时空观与经典物理学是不同的,但可能并不知道它们的时间结构有没有不同,有什么不同。狭义相对论的时间结构确实与经典物理学不同,它的结构是:右线性的、连续的、无开端无结束的。因为有右线性,狭义相对论时间的结构是决定论的。直观上不容易理解的是狭义相对论时间的结构没有左线性,它可以有不可比较的过去。

  广义相对论的时间结构是多样的,它们都是决定论的,但可以是不连续的、可以有开端、可以有结束。

  直觉主义是数学哲学的一个重要的流派,对于数学的本质、数学中的推理等有非常革命的看法,与传统的数学观、直观的数学观有很大的不同。我们不讨论他们的哲学观和数学观,仅考虑他们的逻辑。由于对推理的看法不同,所以他们的逻辑和经典逻辑不一样。下面从逻辑有效式和证明方法两方面讨论直觉主义逻辑和经典逻辑的不同。

  为了进行这样的比较,我们取一种相同的形式语言,包括四个联接词:┓、∧、∨和→。这样直觉主义逻辑和经典逻辑就有同样的公式集。

  虽然直觉主义逻辑和经典逻辑对于∧、∨和→的解释是不同的,但有同样的逻辑规律。这些逻辑规律构成了直觉主义逻辑和经典逻辑一个共同的基础——正逻辑。

  直觉主义逻辑和经典逻辑的本质区别在于对否定(的看法不同。从逻辑规律看,它们都承认无矛盾律(┓(┓α∧α)),但直觉主义逻辑不承认排中律(┓α∨α)。从证明方法看,它们都承认归谬法(如果从α推出矛盾,则得到┓α),但直觉主义逻辑不承认反证法(如果从┓α推出矛盾,则得到α)。

  在正逻辑的基础上,归谬公理((α→β)→((α→┓β)→┓α))可以刻画归谬法;为了得到无矛盾律,还需要矛盾公理(┓α→(α→β)),因此在正逻辑的基础上加上公理:

  在正逻辑的基础上,反证法比归谬法强,归谬法不能得到反证法,而反证法能得到归谬法。反证法还能得到矛盾公理,得到排中律。在正逻辑的基础上加上公理:

  有了这两个系统,我们进一步讨论直觉主义逻辑和经典逻辑的差别;只讨论一些结论的意义,它们的证明就不讲了。

  (1)排中律。从上面的讨论可知, 经典逻辑有排中律而直觉主义逻辑没有排中律,实际上它们之间的本质差别就是排中律,因为可以证明直觉主义逻辑加上排中律公理(┓α∨α)得到经典逻辑。

  (2)双重否定。 双重否定律(┓┓α←→α)是经典逻辑中的重要规律,直觉主义逻辑中有双重添加(α→┓┓α),而没有双重消去(┓┓α→α)。更进一步有,在直觉主义逻辑中,双重消去和排中律是等价的,所以经典逻辑加上双重消去公理(┓┓α→α)也能得到直觉主义逻辑。

  (3)皮尔斯律。 皮尔斯律(((α→β)→α)→α)是一个比较奇特的规律,虽然没有否定词┓,但却不是正逻辑规律,也不能用直接证明的方法证明,必须使用间接证明方法,而且要用较强的反证法,因为它在直觉主义逻辑中不成立。在直觉主义逻辑中,它和排中律是等价的,这说明了皮尔斯律是一个不用否定词但表示了关于否定词逻辑规律的公式。

  (4)矛盾式。 我们已经知道经典逻辑和直觉主义逻辑都有矛盾律,实际上有更强的结果。可以证明任给公式α,┓α是经典逻辑的有效式当且仅当┓α是直觉主义逻辑的有效式。因为┓α是有效式就是α是矛盾式,所以以上结果意味着经典逻辑和直觉主义逻辑有同样的矛盾式。

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